САНДАРДЫҢ ДАМУ ТАРИХЫ

ГРНТИ 51:37.016

УДК  517.11

                                    

Б.О.Жумартова1*,  Р .С. Ысмағұл1,  А.А.Утемисова1

1А.Байтурсынов атындағы Қостанай өңірлік  университеті,  Қостанай қ., Қазақстан

*e-mail: balzhan.zhumartova@mail.ru   

 

САНДАРДЫҢ ДАМУ ТАРИХЫ

 

Аңдатпа

Цифрлар — бұл бүкіл адамзат сөйлейтін әмбебап тіл. Осы цифрлардың қашан, қалай пайда болғандығы, қазіргі сандардың даму тарихы осы мақалада  қарастырылған, арифметиканың даму кезеңдері жүйеленген. Ежелгі өркениеттер өкілдерінің әртүрлі тарихи дәуірлерде қандай сандық жүйелерді қолданылғаны сипатталған. Сандардың даму кезеңдерімен ғана емес, сонымен қатар математиканың қалыптасу кезеңдерімен, оның тұжырымдамалары мен теоремаларының даму кезеңдерімен танысуға болады. Сандардың тарихы жалпы адамзат тарихымен тығыз байланысты, сандар біздің өткеніміздің, бүгінгіміздің және болашағымыздың ажырамас бөлігі болып табылады. Адамзат қоғамы дамыды, онымен бірге сандар өзгерді

Түйінді сөздер: сандарды дамыту, тарих, санау жүйесі, есептеу, арифметика

    

Аннотация

Б.О.Жумартова1,  Р .С. Ысмағұл1,  А.А.Утемисова1,

1Костанайский региональный университет имени А.Байтурсынова, Костанай, Казахстан

                                                     

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЦИФР

 

Цифры-это универсальный язык, на котором говорит все человечество. В этой статье рассмотрены когда, как появились эти цифры, история развития современных чисел. систематизированы этапы развития арифметики. Описаны, какие системы счисления использовались представителями древних цивилизаций в разные исторические эпохи. Можно ознакомиться не только с этапами развития чисел, но и с этапами становления математики, этапами развития ее понятий и теорем. История чисел неразрывно связана с историей человечества в целом, числа являются неотъемлемой частью нашего прошлого, настоящего и будущего. Развивалось человеческое общество, а вместе с ним менялись и цифры

Ключевые слова: развитие цифр, история, система счета,  вычисления, арифметика

 

Abstract

В.О.Zhumartova1,  R.S. Ysmagul1, А.А.Utemisova1

1Kostanay Regional University named after A. Baitursynov,  Kostanay, Kazakhstan.

 

HISTORY OF DEVELOPMENT OF NUMBERS

 

Numbers are the universal language spoken by all of humanity. This article discusses when, how these numbers appeared, and the history of the development of modern numbers. the stages of arithmetic development are systematized. It describes which number systems were used by representatives of ancient civilizations in different historical epochs. You can get acquainted not only with the stages of the development of numbers, but also with the stages of the formation of mathematics, the stages of the development of its concepts and theorems. The history of numbers is inextricably linked with the history of mankind as a whole, numbers are an integral part of our past, present and future. Human society was developing, and numbers were changing along with it

Keywords: development of numbers, history, counting system, calculations, arithmetic

 

Кіріспе

Цифрлар мен сандар біз өмірге келген күннен бастап қоршап алады, олар барлық жерде қолданылады. Олардың пайда болуы адамзат дамуының негізгі кезеңдерінің бірі болып табылады және олардың біздің өміріміздегі рөлі өте зор. Цифрлар — бұл бүкіл адамзат сөйлейтін әмбебап тіл. Пифагор айтқандай: «Цифрлар әлемді басқарады!»[1]. Біздің әрқайсымыз мұны түсінеміз, бірақ біздің цифрларымыз қалай пайда болды, олар неге пайда болды, олар қайдан пайда болды? Бұл мақалада біз осы мәселелерді қарастырамыз.

Ерте замандағы  адамдар «бір», «екі» деген цифрларды да білмеді. Бірлескен іс-шаралар кезінде бір-бірін түсіну үшін олар саусақтарда бәрін көрсетеді. Саусақтарыңызды бүгу дегеніміз –қосу, жазу –алуды білдірді. Кішкентай балалар да осылай ойлайды. Бұл арифметика ғылымының дамуының алғашқы кезеңі еді, адамдарға санау үшін 10 сан жеткілікті болды. Сондай-ақ, бұл факт «математика тілі» басқа тілдерге қарағанда әлдеқайда ертерек пайда болғанын көрсетеді. Кейінірек ежелгі  адамдар сандарды ағашқа немесе тасқа сызықтармен суреттей бастады, бірақ     бұның өзі  біз күнделікті қолданатын қазіргі сандардың пайда болуына дейін мұндай сызықшалар әлі алыс еді.

Адамзат қоғамы дамыды, онымен бірге сандар өзгерді. Мал шаруашылығы мен егіншілік пайда бола бастайды, адамзат әртүрлі құрылымдар сала бастайды. Егіс пен егін жинау уақытын есептеу, учаскелерді бөлу қажет болды. Яғни, неғұрлым күрделі есептеулер жүргізілді, сондықтан алғашқы өркениеттердің өкілдері санау жүйесін құру туралы ойлана бастады.

 

Негізгі бөлігі

Алғашқы цифрлар  алғашқы әріптер болған кезде пайда болды. Ежелгі Египет-математиканың бесігінің бірі. Мұнда олар күрделі арифметикалық есептеулер жүргізуді білді. Бұған археологиялық қазба жұмыстары дәлел.

Сандарды тастарға немесе ағашқа көшіру үшін мысырлықтар иероглифтерді қолданды: 1-тік сызық, 2-екі тік сызық, 10-инверттелген U, 100-спираль, 1000-сабақтағы лотос гүлі, 10000-сәл иілген саусақ, 100000-тадполь, 1000000-тізедегі жоғары көтерілген адам қолдар.

Әр сан осы таңбаларды қайталау арқылы жазылды (сурет 1, сурет 2) . Мысалы, 3141592 саны келесідей жазылды:

 

Сурет 1 — 3141592 саны

 

Сурет 2-1203428 саны:

 

Сіз кейбір суреттердің айнаға айналғанын көре аласыз, бұл өзгеріс санға әсер етпегенін көрсетеді. Қазіргі арифметикада бұл орын алмайды.

Кейінірек, мысырлықтар папирусқа жаза бастағанда, олар қарапайым сандық жазба жүйесін қолдана бастады. Цифрлар  мен сандарды белгілеу үшін арнайы таңбалар енгізілді. Осылайша, мысырлықтар сегіз тік сызық түрінде 8 санының ұзақ және күрделі бейнесінің орнына бір таңбаны қолдана бастады (сурет 3):

 

Сурет 3 –Ежелгі Мысырдың сандары

Мысырлықтардың цифрларды  жазу үшін сан үстінде ауыз таңбасы орналасқанын көруге болады (сурет 4):

 

Сурет 4  — Ежелгі Мысырдағы  цифрлардың жазбасы

 

Кейінірек бөлшекті көрсету үшін санның үстіне нүкте қойылды, мысалы, 1/4,1/5, 1/6, 1/7. 

Амалдарды  осылай көрінетін еді (сурет 5)

 

Сурет 5 – Ежелгі Мысырдағы бөлшекті көрсету

 

Мысырлықтар тек бір амалдарды  қолданды, сондықтан олар 1-ден асатын алымы бар амалдардың бірлік амалдардың қосындысына бөлді, мысалы, 2/5 1/3+1/15 немесе 2/101 қосындысына бөлінді 1/101+1/202+1/303+1/606 . Бұл жүйе біздің ондық жүйеге ұқсайды.

Мұндай жүйеде қосу және азайту қиын болған жоқ. Бірақ көбейту және бөлу оңай болған жоқ. Мысалы, 21*25=(2+3+4+5+7)*25=50+75+100+125+175=525. 225 санын мыналарға бөлу 25: 225/25=(200+25)/25=8+1=9. Бұл өте ұзақ және тиімсіз  процесс болды.

Ежелгі Мысыр жүйесі біздегідей тиімді және икемді болмаса да, бұл үлкен пирамидалардың құрылысына кедергі болмады.

Ежелгі өркениеттің отаны болып табылатын Вавилонда әлдеқайда қарапайым сандық жүйе қолданылды., онда әр санның мәні оның санындағы позицияға байланысты болды. Біз қазір сандарды жазудың ұқсас принципін қолданамыз. Біздің сандық жүйеміз-ондық позициялық сандық жүйе.

Вавилон жүйесінде тек 2 белгі қолданылды: бірліктерді білдіретін түзу пышақ және онға бағаланған жатақ пышақ, бұл өте ыңғайлы болды. Вавилондықтар алпысыншы сан жүйесін қолданды, яғни оның негізі 60 саны болды. Неліктен 60 саны таңдалғанын ешкім білмейді. Мүмкін, 60-бұл 1, 2, 3, 4, 5 және 6-ға бөлінетін ең аз сан болғандықтан, бұл бірқатар арифметикалық есептерді шешуді жеңілдетті. Вавилондықтар фракциялардағы есептеу жүйесін кеңейтті. Оларда біздің ондық үтірге ұқсас арнайы «алпысыншы» таңба болған жоқ. Вавилон математиктерінің тағы бір жетістігі – квадрат түбірді нақты мәннен шамамен 0,000008 дәлдікпен алу мүмкіндігі. Бұл оларға жұлдыздар мен басқа аспан денелерін бақылау үшін қажет болды. Осының арқасында олар астрономияда үлкен жетістіктерге жетті. Вавилондықтар алдымен шеңберді 360 градусқа бөлуді ойлады. Мүмкін, бұл Зодиак шеңберінің 12 Зодиак белгілерінен және 36 вавилондық құдайлардан тұратындығына байланысты шығар. Кейінрек  360 саны таңдалды деген нұсқа пайда болды, өйткені шеңберге 6 тең қабырғалы үшбұрыш енгізуге болады, ал оның ортасындағы бұрыштардың әрқайсысы 60 бөлікке бөлінеді, бұл бөлшектер мен бұрыштарды есептеу үшін ыңғайлы болды (сурет 6).

 

Сурет 6 — шеңберге 6 тең қабырғалы үшбұрыш енгізу

 Вавилондағы сандық жүйе позициялық болғандықтан, есептеу біздікіне өте ұқсас болды. Азайту және қосу кезінде олар жай сандарды қосып, алып тастады.

Көбейту үшін олар біздікіне ұқсас арнайы кестеге ие болды, бірақ 1-ден 20-ға дейін, содан кейін 30, 40, 50-ге көбейтілді. Мысалы, 34-ті 47-ге көбейту үшін алдымен кестеден 34*40, содан кейін 34*7 тауып, қосу керек болды.

Бөлудің орнына олар кері санға көбейтуді қолданды. Бұл үшін оларда арнайы кестелер болды [2].

Ежелгі гректер Мысыр есебіне негізделген сандық жүйені қолданған. Сандарды жазу үшін олар әріптерді қолданды: α-1,β-2 және т.б. 27 Сан грек алфавитінің 27 әрпіне сәйкес келді. Мысалы, 444 саны υμδ деп жазылды, өйткені υ символы 400 санын, μ — 40 және δ — 4 символын білдірді. Фракциялар «сексен бестен он үш бөлік» деген сөздермен сипатталды немесе алымы мен деноминаторы бар жай фракциялар түрінде көрсетілді. Мысыр мен грек сандарын бейнелеу жүйелері астрономия үшін қолданылмайды, өйткені планеталардың қозғалысын бақылау үшін бұрыштардың ең аз бөлігін есептеу керек, ал қарапайым және жалғыз бөлшектер бұған сәйкес келмеді. Мұнда, әрине, Вавилон жүйесінің артықшылығы болды.

Ежелгі рим цифрлары бәрімізге таныс. Олар әлі де сағаттар мен оқулықтарда тараулар, томдар және т.б. жазу үшін қолданылады. Төрт саусақты және бір үлкен саусақты жазу арқылы олар  бестікті жаза бастады: V. кейбір сандар үшін гректер сияқты әріптер қолданылды: x (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Үлкен сандарды белгілеу үшін олар әріптен жоғары сызық жазды: V -5000, M-1 000 000, V -5 000 000.

Тарихшылар римдік V санында бір-біріне басылған төрт саусақпен және бас бармағымен ашық қол бейнеленген деп санайды. X екі қолды немесе қос санды бейнелейді V. С және М латын сөздерінің бастапқы әріптерімен байланысты болуы мүмкін, бұл 100 (centum) және 1000 (mille) дегенді білдіреді. Айтпақшы, 4 саны «IV» ретінде 19 ғасырда ғана жазыла бастады, бұған дейін «IIII» деп жазылды [2].

Рим цифрларымен байланысты бірқатар басқа ережелер бар. Бір таңбаны қатарынан үш реттен артық пайдалану мүмкін болмады. Мысалы, 77 — LXXVII санын жазу=50+10+10+5+1+1.

Сондай-ақ, римдіктер саусақтармен санау жүйесін қолданды. Олар бір қолды жүзге дейін санау үшін, ал екінші қолды жүздеген және мыңдаған санын көрсету үшін қолданды. Осылайша, екі қолды қолдана отырып, олар кез-келген санды 10000-ға дейін көрсете алды (сурет 7). Бұл» қарабайыр » есеп жүйесі болды, бірақ бұл тауарлардың, сауданың және басқа да тұрмыстық қажеттіліктердің құнын есептеу үшін жеткілікті болды. Сондықтан мұндай жүйе оларды «қанағаттандырды».

 

Сурет 7 – римдік саусақпен  санау жүйесі

 

Тұран сандары-прототүріктер мен түріктердің сандары, оларды этрускалықтар, чуваштар, венгрлер қолданған. Олардың руникалық жазуы болғандықтан, оларды әріптермен шатастырмау үшін сандардың үстіне жоғарғы сызғыш қойылды (1-(Ι,) 5-Λ,10-Χ,100-Ж ). Бұл техниканы кейінірек римдіктер көшірген деп есептелді. Бұл жүйенің ерекшелігі, екінші және үшінші ондықтар үшін комбинацияның арнайы әдістері қайта құрылады — бірлікті белгілеу (1-9) және одан кейін разряд (20, 30): «bir jigirmi» — 11 (21 емес), «altı qırıq» — 36 (46 емес), 17,18,19 сандарын көрсету үшін «20-дан 3″,» 20-дан 2 «»20-дан 1». Сіз римдік ұқсастықты байқай аласыз, бірақ олар тек 17 және 15 және 2 қосындысын қолданды.

Чуваш цифрлары-түркі руникалық жазбаларынан шыққан және әлі күнге дейін чуваштар қолданған сандар. Рим жазбасында Үлкен сандар сол жақта, ал чувашта — керісінше, оң жақта тұрды. Чуваштардың 5, 50, 100, 1000 белгілері римдік белгілерден өзгеше болды (сурет 8).

 

Сурет  8 – чуваш цифры

 

Үнді-араб сандары. Қазіргі араб цифрларын индустар ойлап тапқанын бәріміз білеміз, мұны Тарихи деректер дәлелдейді және арабтар сөздерді оңнан солға, ал сандарды солдан оңға жазады. Қазіргі сандардың пайда болуы арабтардың осы сандық жүйені белсенді түрде таратуына байланысты болды.

2 нұсқасы бар. Неге сандар осылай көрінеді?

Біріншісі, белгіде қанша бұрыш бар болса-бұл санның айтылуын көрсетеді. Бір санында  бір бұрыш бар, төрт санында төрт бұрыш және т.б. (сурет  9).

 

Сурет 9 — белгіде қанша бұрыш болса, бұл сол  санды сипаттайды

 

Нөлді Үнді математиктері  енгізді. Бұл математикада үлкен жетістік болды.

Екіншісі, сандар оны білдіретін сөздің айтылуы басталатын әріппен жазылды. Бұл нұсқа бойынша алғашқы үнді сандары келесідей болды (сурет 10):

 

Сурет 10-алғашқы үнді сандары

 

Кейінрек  арабтар кейбір сандарды жазуды біршама жеңілдетті (сурет 11)

 

Сурет 11 – араб және үнді  цифрлары

Бұл уақытта рим цифрлары да  қолданылды. Жоғарыда айтылғандай, бұл жүйе өте ыңғайсыз болды. Бірақ еуропалықтар араб әлемімен байланысқа ие болғандықтан, яғни ғылыми жаңалықтарды, соның ішінде есеп жүйесін қабылдауға мүмкіндік болды.

Әрине, еуропалықтар жаңа сандарды бірден қабылдаған жоқ. Олар жоғары қоғамда және ғалымдар арасында қолданылды, бірақ күнделікті өмірде қарапайым адамдар сыртқы сандардан «қорқатын».  Сандардың  оңай бұрмалануы мүмкін болғандықтан,  бұл жүйе ұнамады: бірлікті жетіге оңай түзетуге немесе санға қосымша сандарды жатқызуға болады. Рим цифрларымен бұл мүмкін емес еді. 1299 жылы Флоренцияда Араб цифрларына тыйым салынды. Осыған қарамастан, үнді «араб» сандарының артықшылығы асып түсті және олар айқын болды. 14 ғасырдың аяғында Еуропа толығымен араб цифрларына көшті. Қазіргі уақытта бүкіл әлемде үнді-араб жүйесі қолданылады (сурет 12 ) [3].

 

Сурет 12-Қазіргі сандардың эволюциясы

 

Біз қолданып отырған сандар осындай ұзақ тарихи жолдан өтті.

Қорытынды

Математика ғылымы-ғылымдардың патшайымы. Бұл біздің өміріміздегі барлық нәрсе онымен байланысты болғандықтан ғана емес, сонымен бірге ол жұмбақ және қызықты болғандықтан. Оның арифметика бөлімі де қызықты. Бұл мақалада оның ежелгі және бүкіл адамзат үшін маңыздылығын ерекше атап өтілдіі. Ежелгі адамдардан бастап сандардың  даму жолы саусақтарда есепті қолданған және сандарды сызықшалармен белгілеген, қазіргі цифрлық дәуірмен аяқталған. Әлеуметтік даму барысында сандар да дамыды, өз кезегінде есеп жүйесінің дамуы әлеуметтік ғылымның дамуына мүмкіндік берді. Алғашқы тайпалардан бастап ғарыштың тереңдігін зерттейтін қазіргі өркениетке дейінгі адамзат қоғамының қалыптасу жолындағы сандар бізбен бірге жүрді. Әлемде бәрі өзгермелі, ғасырлар бойы ғылыми процеспен  бірге  біздің қазіргі цифрларымыз да өзгеруі мүмкін. Бірақ  олардың біздің өміріміздегі рөлі мүлдем өзгермейді.

 

                                                   Пайдаланылған әдебиеттер тізімі: 

      1  https://bbf.ru/quotes/?author=41689 

      2 Беллос А. Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь, и жизнь отражает цифры.- М.:Манн, Иванов и  Фербер,  2015.-431 с.

     3  Манкевич Р. История математики. От счетных палочек до бессчетных Вселенных.-М.:Луч, 2011,-210с.

    4  Ysmagul R.S., Zhumartova В.О. Characteristic function of the system D–Equations // Вестник КазНПУ им. Абая. Серия физико-математическая, -2021. -№3 (75).-с.29-33 https://doi.org/10.51889/2021-3.1728-7901.03

   5 Ysmagul R.S., Kolesnikova A.S. Some estimates of characteristic functions and matrix of a linear uniform equation in private derivatives // Вестник КазНПУ им. Абая. Серия физико-математическая, -2019. -№2 (63). — с.46-50

  6 Tastanov M.G.,  Mayer F.F., Ysmagul R.S., Utemissova A. A.  Solution of problems for the relaxation filtration model proceeding under linear Darcy’s law using Monte-Carlo and probabilistic-difference methods// Global and Stochastic Analysis (GSA) Vol. 7 No. 1 https://www.mukpublications.com/gsa-7-1-2020.php

                                                              

                                                             

                                                                    References:

  1  https://bbf.ru/quotes/?author=41689 

       2 Bellos A. Kracota v kwadrate. Kak chifri otrajaet jisn, i jisn otrajaet chifri- M.:Maqnn, Ivanov I Ferber, 20185. -431s

3 Mankevich R. Istoria matematiki.Ot  сhetnik palochek do beschetnik Vselennik. –M.:Luch, 2011, -210s.

 4 Ysmagul R.S., Zhumartova В.О. Characteristic function of the system D–Equations // Vestnik KazNPU im. Abaja. Serija fiziko-matematicheskaja, -2021. -№3 (75). рр.29-33 https://doi.org/10.51889/2021-3.1728-7901.03

5  Ysmagul R.S., Kolesnikova A.S.(2019) Some estimates of characteristic functions and matrix of a linear uniform equation in private derivatives. Vestnik KazNPU im. Abaja. Serija fiziko-matematicheskaja, №2 (63). pp.46-50

   6  Tastanov M.G.,  Mayer F.F., Utemissova A. A.,  Ysmagul R.S.  Solution of problems for the relaxation filtration model proceeding under linear Darcy’s law using Monte-Carlo and probabilistic-difference methods// Global and Stochastic Analysis (GSA) Vol. 7 No. 1 https://www.mukpublications.com/gsa-7-1-2020.php